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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 1:07

Trouver les valeurs propres de la matrice [2 1 0 ; 1 2 0 ; 0 0 3]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: λ = 3, 3, 1.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver les valeurs propres de la matrice [2 1 0 ; 1 2 0 ; 0 0 3]

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver les valeurs propres de la matrice [2 1 0 ; 1 2 0 ; 0 0 3]
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Écrire l’équation caractéristique
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Polynôme caractéristique
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 3 : résoudre (A − λI)v = 0
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 1 : résoudre (A − λI)v = 0
  4. 4. La réponse
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Vérification
    • La somme des valeurs propres ≈ 7 est égale à la trace 7.
    • Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 9.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver les valeurs propres de la matrice [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 3 fois 3.

Étapes, partie 1. Écrire l’équation caractéristique. Polynôme caractéristique. Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles. Vecteurs propres pour λ égale 3: résoudre (A moins λI)v égale 0. Multiplicité algébrique 2, multiplicité géométrique 2.

Étapes, partie 2. Vecteurs propres pour λ égale 1: résoudre (A moins λI)v égale 0.

La réponse. La réponse est donc λ égale 3, 3, 1. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Vecteurs propres: λ égale 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ égale 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Vérification. La somme des valeurs propres environ 7 est égale à la trace 7. Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 9.

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