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Résoudre un problème
MatricesAlgèbre linéaireUniversité≈ 1:01

Trouver les valeurs propres de la matrice [6 -2 ; 2 1]

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: λ = 5, 2.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver les valeurs propres de la matrice [6 -2 ; 2 1]

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver les valeurs propres de la matrice [6 -2 ; 2 1]
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[6−221]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}6 & -2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}
      Écrire l’équation caractéristique
    2. λ2−(7)λ+(10)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0
      Pour une matrice 2×2, elle s’écrit λ² − (trace)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+10p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10
      Polynôme caractéristique
    4. λ=2, λ=5\lambda = 2,\ \lambda = 5
      Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. [1−22−4] v=0⇒v=⟨2,1⟩\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 2, 1 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 5 : résoudre (A − λI)v = 0
    2. [4−22−1] v=0⇒v=⟨1,2⟩\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 2 & -1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 2 \rangle
      Vecteurs propres pour λ = 2 : résoudre (A − λI)v = 0
  4. 4. La réponse
    λ=5, 2\lambda = 5,\ 2

    p(λ) roots: 5, 2

  5. 5. Vérification
    • La somme des valeurs propres ≈ 7 est égale à la trace 7.
    • Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 10.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver les valeurs propres de la matrice [6 moins 2; 2 1]. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 2 fois 2.

Étapes, partie 1. Écrire l’équation caractéristique. Pour une matrice 2 fois 2, elle s’écrit λ au carré moins (trace)λ plus det. Polynôme caractéristique. Racines rationnelles trouvées grâce au théorème des racines rationnelles.

Étapes, partie 2. Vecteurs propres pour λ égale 5: résoudre (A moins λI)v égale 0. Vecteurs propres pour λ égale 2: résoudre (A moins λI)v égale 0.

La réponse. La réponse est donc λ égale 5, 2. Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Vecteurs propres: λ égale 5: ⟨2, 1⟩; λ égale 2: ⟨1, 2⟩.

Vérification. La somme des valeurs propres environ 7 est égale à la trace 7. Le produit des valeurs propres est égal au déterminant 10.

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