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Résoudre un problème
Régression linéaireStatistiques et probabilitésUniversité≈ 1:24

Trouver la droite de régression des moindres carrés pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et y = 52, 58, 61, 67, 70, 78

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: ŷ = 707/15 + (172/35)x; r ≈ 0.992161, r² ≈ 0.984383.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Problème original (anglais) : Trouver la droite de régression des moindres carrés pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et y = 52, 58, 61, 67, 70, 78

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.6 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    Trouver la droite de régression des moindres carrés pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et y = 52, 58, 61, 67, 70, 78
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. xˉ=216=72≈3.5,yˉ=3866=1933≈64.3333\bar x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} \approx 3.5,\quad \bar y = \frac{386}{6} = \frac{193}{3} \approx 64.3333
      Moyennes de x et y
    2. Sxx=∑(x−xˉ)2=352≈17.5,Syy=12883≈429.333,Sxy=∑(x−xˉ)(y−yˉ)=86S_{xx} = \sum (x-\bar x)^2 = \frac{35}{2} \approx 17.5,\quad S_{yy} = \frac{1288}{3} \approx 429.333,\quad S_{xy} = \sum (x-\bar x)(y-\bar y) = 86
      Sommes des carrés et produits croisés autour des moyennes
    3. b=SxySxx=17235≈4.91429b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{172}{35} \approx 4.91429
      Pente
    4. a=yˉ−bxˉ=70715≈47.1333a = \bar y - b\bar x = \frac{707}{15} \approx 47.1333
      Ordonnée à l’origine : la droite passe par le point des moyennes
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. y^=70715+17235x\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x
      Droite de régression
    2. r=SxySxxSyy≈0.992161,r2≈0.984383r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \approx 0.992161,\quad r^2 \approx 0.984383
      Corrélation et coefficient de détermination
  4. 4. La réponse
    y^=70715+17235x\hat y = \frac{707}{15} + \frac{172}{35}x

    b = 172/35 ≈ 4.91429, a = 707/15 ≈ 47.1333

  5. 5. Vérification
    • La somme des résidus est 0, comme il se doit pour une droite des moindres carrés.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver la droite de régression des moindres carrés pour x égale 1, 2, 3, 4, 5, 6 et y égale 52, 58, 61, 67, 70, 78. Ajuster la droite ŷ égale a plus bx qui minimise la somme des carrés des distances verticales aux données, et mesurer la qualité de l’ajustement avec r et r au carré.

Étapes, partie 1. Moyennes de x et y. Sommes des carrés et produits croisés autour des moyennes. Pente. Ordonnée à l’origine: la droite passe par le point des moyennes.

Étapes, partie 2. Droite de régression. Corrélation et coefficient de détermination. Association linéaire positive forte; environ 98.44 pour cent de la variation de y est expliquée par la droite.

La réponse. La réponse est donc ŷ égale 707 sur 15 plus (172 sur 35)x; r environ 0.992161, r au carré environ 0.984383. La pente est le changement prédit de y pour chaque augmentation d’une unité de x. La corrélation mesure la force de la relation linéaire, pas si x cause y.

Vérification. La somme des résidus est 0, comme il se doit pour une droite des moindres carrés.

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