Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:24

Intégrer 1/(x²+1) de 0 à ∞

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Étapes, partie 1
1. Il s’agit d’une intégrale impropre
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Forme arctangente : ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Primitive
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  Calculer la partie de 0 à l’infini
3. Étapes, partie 2
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  Additionner les parties
4. La réponse
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. Vérification
- Primitive vérifiée par dérivation ✓
- Chaque limite de la primitive a été calculée et contrôlée numériquement par le moteur de limites ✓
- Estimation numérique tronquée (arrêt à 10⁻⁶ des asymptotes et en ±1000 pour les bornes infinies) : 1.5698

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer 1/(x au carré plus 1) de 0 à l prime infini. Calculer l prime intégrale impropre de 1 / (x au carré plus 1) de 0 à inf.

Étapes, partie 1. Il s’agit d’une intégrale impropre. Elle est impropre car une borne d’intégration est infinie. Elle est définie comme une limite et ne converge que si toutes les limites sont finies. Forme arctangente: l'intégrale de du/(a au carré plus u au carré) égale (1/a) fois arctan(u/a). Primitive. Calculer la partie de 0 à l’infini.

Étapes, partie 2. Additionner les parties. Toutes les limites sont finies: l’intégrale converge donc.

La réponse. La réponse est donc Converge: pi/2 environ 1.570796327. Une intégrale impropre remplace le point problématique par une variable, intègre normalement, puis passe à la limite. Une limite finie signifie que la région infinie a malgré tout une aire finie.

Vérification. Primitive vérifiée par dérivation, ce qui est vérifié. Chaque limite de la primitive a été calculée et contrôlée numériquement par le moteur de limites, ce qui est vérifié. Estimation numérique tronquée (arrêt à 10 puissance moins 6 des asymptotes et en plus ou moins 1000 pour les bornes infinies): 1.5698.

Étapes à l’écran

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