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Résoudre un problème
PrimitivesAnalyseUniversité≈ 0:56

Intégrer sin(2x)x

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: -(x·cos(2x) / 2) + sin(2x) / 4 + C.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫sin⁡(2x)x dx\int \sin\left(2x\right) x\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫sin⁡(2x)x dx\int \sin\left(2x\right) x\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv - \int v\,du
      Intégration par parties (méthode du tableau)
    3. ∫sin⁡(2x)x dx=−xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4\int \sin\left(2x\right) x\,dx = -\frac{x \cos\left(2x\right)}{2}+\frac{\sin\left(2x\right)}{4}
      Combiner les produits à signes alternés
    4. ∫sin⁡(2x)x dx=−xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4+C\int \sin\left(2x\right) x\,dx = -\frac{x \cos\left(2x\right)}{2}+\frac{\sin\left(2x\right)}{4} + C
      Simplifier et ajouter la constante d’intégration
  3. 3. La réponse
    −xcos⁡(2x)2+sin⁡(2x)4+C-\frac{x \cos\left(2x\right)}{2}+\frac{\sin\left(2x\right)}{4} + C

    ∫ sin(2x) x dx = -(x·cos(2x) / 2) + sin(2x) / 4 + C

  4. 4. Vérification
    • Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer sin(2x)x. Calculer une primitive (intégrale indéfinie) de sin(2 x) x par rapport à x.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Intégration par parties (méthode du tableau). Dériver le polynôme x jusqu’à obtenir 0, intégrer sin(2 x) le même nombre de fois, puis combiner avec des signes alternés. Combiner les produits à signes alternés. Simplifier et ajouter la constante d’intégration.

La réponse. La réponse est donc -(x fois cos(2x) / 2) plus sin(2x) / 4 plus C. Une primitive F vérifie F prime de x égale f(x). Comme la dérivée de toute constante vaut 0, deux primitives diffèrent d’une constante C.

Vérification. Résultat dérivé et comparé à la fonction intégrée en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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