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Résoudre un problème
Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 0:55

Intégrer sin(x)² de 0 à π

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: 1.570796327 = π/2.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫0πsin⁡(x)2 dx\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx
  2. 2. Étape par étape
    1. ∫0πsin⁡(x)2 dx\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx
      Partir de l’intégrale
    2. ∫sin⁡(x)2 dx=x2−sin⁡(2x)4\int {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}
      Identité de réduction de puissance : sin² u = (1 − cos 2u)/2
    3. F(x)=x2−sin⁡(2x)4F(x) = \frac{x}{2}-\frac{\sin\left(2x\right)}{4}
      Primitive
    4. F(π)−F(0)=1.570796327−0=1.570796327F(\pi) - F(0) = 1.570796327 - 0 = 1.570796327
      Appliquer le théorème fondamental de l’analyse
  3. 3. La réponse
    ∫0πsin⁡(x)2 dx=1.570796327\int_{0}^{\pi} {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = 1.570796327

    ∫ from 0 to π = 1.570796327 = π/2

  4. 4. Vérification
    • Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée ✓
    • La méthode de Simpson adaptative donne 1.570796327 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer sin(x) au carré de 0 à pi. Calculer l’intégrale de sin(x) au carré de x égale 0 à x égale pi.

Étape par étape. Partir de l’intégrale. Identité de réduction de puissance: sin au carré u égale (1 moins cos 2u)/2. Primitive. Appliquer le théorème fondamental de l’analyse.

La réponse. La réponse est donc 1.570796327 égale pi/2. Une intégrale donne l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses: l’aire située au-dessus de l’axe compte positivement et celle située en dessous compte négativement.

Vérification. Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée, ce qui est vérifié. La méthode de Simpson adaptative donne 1.570796327, ce qui est vérifié.

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