Aller au contenu
MathSolver Pro
  • Ouvrir le solveur
  • Demander au tuteur IA
  • Trouver un cours AP
  • Créer un quiz
  • Ouvrir la calculatrice
  • Calculatrice graphique
  • Voir toutes les calculatrices
  • Lire les guides de maths
↑ ↓Entrée pour ouvrir · Échap pour fermer
Résoudre un problème
Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:18

Intégrale définie de e^(-2x) de 0 à ∞

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Converge: 1/2 ≈ 0.5.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.5 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    ∫0∞e−2x dx\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. Il s’agit d’une intégrale impropre
    2. ∫e−2x dx=−12e2x\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Règle de l'exponentielle : ∫ eᵘ du = eᵘ (diviser par la dérivée de l'exposant)
    3. F(x)=−12e2xF(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Primitive
    4. lim⁡x→∞F(x)=0,F(0)=−12≈−0.5\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5
      Calculer la partie de 0 à l’infini
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Additionner les parties
  4. 4. La réponse
    ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5

    Converges to 1/2 ≈ 0.5

  5. 5. Vérification
    • Primitive vérifiée par dérivation ✓
    • Chaque limite de la primitive a été calculée et contrôlée numériquement par le moteur de limites ✓
    • Estimation numérique tronquée (arrêt à 10⁻⁶ des asymptotes et en ±1000 pour les bornes infinies) : 0.5

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrale définie de e puissance moins 2x de 0 à l prime infini. Calculer l prime intégrale impropre de e puissance moins 2 x) de 0 à inf.

Étapes, partie 1. Il s’agit d’une intégrale impropre. Elle est impropre car une borne d’intégration est infinie. Elle est définie comme une limite et ne converge que si toutes les limites sont finies. Règle de l prime exponentielle: l'intégrale de eᵘ du égale eᵘ (diviser par la dérivée de l prime exposant). Primitive. Calculer la partie de 0 à l’infini.

Étapes, partie 2. Additionner les parties. Toutes les limites sont finies: l’intégrale converge donc.

La réponse. La réponse est donc Converge: 1 sur 2 environ 0.5. Une intégrale impropre remplace le point problématique par une variable, intègre normalement, puis passe à la limite. Une limite finie signifie que la région infinie a malgré tout une aire finie.

Vérification. Primitive vérifiée par dérivation, ce qui est vérifié. Chaque limite de la primitive a été calculée et contrôlée numériquement par le moteur de limites, ce qui est vérifié. Estimation numérique tronquée (arrêt à 10 puissance moins 6 des asymptotes et en plus ou moins 1000 pour les bornes infinies): 0.5.

D’autres leçons comme celle-ci

Intégrale définie de e^(-2x) de 0 à ∞ : leçon vidéo pas à pas