Intégrales définiesAnalyseUniversité≈ 1:16

Intégrer 3x² - 2x de -1 à 2

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
2. Étapes, partie 1
1. $\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx$
  Partir de l’intégrale
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int 3{x}^{2}\,dx = {x}^{3}$
  Linéarité (facteur constant) : ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Primitive d’une puissance : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. Étapes, partie 2
1. $\int 2x\,dx = {x}^{2}$
  Linéarité (facteur constant) : ∫ k·f dx = k∫ f dx
2. $\int 3{x}^{2}-2x\,dx = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Règle de linéarité : intégrer terme à terme
3. $F(x) = {x}^{3}-{x}^{2}$
  Primitive
4. $F(2) - F(-1) = 4 - \left(-2\right) = 6$
  Appliquer le théorème fondamental de l’analyse
4. La réponse
$\int_{-1}^{2} 3{x}^{2}-2x\,dx = 6$
∫ from -1 to 2 = 6
5. Vérification
- Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée ✓
- La méthode de Simpson adaptative donne 6 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Intégrer 3x au carré moins 2x de moins 1 à 2. Calculer l prime intégrale définie de 3 x au carré moins 2 x de x égale moins 1 à x égale 2.

Étapes, partie 1. Partir de l’intégrale. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1). Linéarité (facteur constant): l'intégrale de k fois f dx égale k l'intégrale de f dx. Primitive d’une puissance: l'intégrale de x puissance n dx égale x puissance n plus 1/(n plus 1).

Étapes, partie 2. Linéarité (facteur constant): l'intégrale de k fois f dx égale k l'intégrale de f dx. Règle de linéarité: intégrer terme à terme. Primitive. Appliquer le théorème fondamental de l’analyse.

La réponse. La réponse est donc 6. Une intégrale donne l’aire algébrique entre la courbe et l’axe des abscisses: l’aire située au-dessus de l’axe compte positivement et celle située en dessous compte négativement.

Vérification. Primitive dérivée et comparée à la fonction intégrée, ce qui est vérifié. La méthode de Simpson adaptative donne 6, ce qui est vérifié.

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