Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:36

Résoudre le système -2x - 2y - 3z = -22, -x + 2y + z = 2, 2x - 3y - 3z = -7

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\begin{cases} -2x-2y-3z = -22 \\ - x+2y+ z = 2 \\ 2x-3y-3z = -7 \end{cases}$
2. Étapes, partie 1
1. $\begin{cases} -2x - 2y - 3z = -22 \\ -x + 2y + z = 2 \\ 2x - 3y - 3z = -7 \end{cases}$
  Écrire chaque équation sous forme standard
2. $\begin{bmatrix}-2 & -2 & -3 & -22 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  Construire la matrice augmentée [A | b]
3. Méthode de Gauss-Jordan
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  Diviser R1 par -2
3. Étapes, partie 2
1. $R_{2} \to R_{2} + 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 3 & \frac{5}{2} & 13 \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  Diviser R2 par 3
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 5R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{11}{6} & -\frac{22}{3}\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{6}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  Diviser R3 par -11/6
4. Étapes, partie 3
1. $R_{1} \to R_{1} - \frac{2}{3} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - \frac{5}{6} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  Forme échelonnée réduite
3. $x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
  Lire la solution unique
5. La réponse
$x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
-2x - 2y - 3z = -22; -x + 2y + z = 2; 2x - 3y - 3z = -7 ⇒ x = 4, y = 1, z = 4
6. Vérification
- Équation 1 : -2x - 2y - 3z = -22 ✓
- Équation 2 : -x + 2y + z = 2 ✓
- Équation 3 : 2x - 3y - 3z = -7 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système moins 2x moins 2y moins 3z égale moins 22, moins x plus 2y plus z égale 2, 2x moins 3y moins 3z égale moins 7. 3 équations linéaires à 3 inconnues (x, y, z).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y, z | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Diviser R1 par moins 2.

Étapes, partie 2. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1. Diviser R2 par 3. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2. Diviser R3 par moins 11 sur 6.

Étapes, partie 3. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3. Forme échelonnée réduite. Lire la solution unique.

La réponse. La réponse est donc x égale 4, y égale 1, z égale 4. Le système a exactement une solution; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification. Équation 1: moins 2x moins 2y moins 3z égale moins 22, ce qui est vérifié. Équation 2: moins x plus 2y plus z égale 2, ce qui est vérifié. Équation 3: 2x moins 3y moins 3z égale moins 7, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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