Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:16

Résoudre le système 2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Une infinité de solutions: x = 7/2 - (3/2)t, y = t (t tout nombre réel).

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ 4x+6y = 14 \end{cases}$
2. Étapes, partie 1
1. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
  Écrire chaque équation sous forme standard
2. $\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  Construire la matrice augmentée [A | b]
3. Méthode de Gauss-Jordan
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 4 & 6 & 14\end{bmatrix}$
  Diviser R1 par 2
3. Étapes, partie 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 4R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
2. $\begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Forme échelonnée réduite
3. $x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
  y est une variable libre
4. La réponse
$x = 7/2 - (3/2)t,\ y = t$
2x + 3y = 7; 4x + 6y = 14 ⇒ Infinitely many solutions: x = 7/2 - (3/2)t, y = t (t any real number)
5. Vérification
- Rang 1 < 2 inconnues, sans ligne contradictoire : l’ensemble des solutions est une famille à 1 paramètre.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système 2x plus 3y égale 7, 4x plus 6y égale 14. 2 équations linéaires à 2 inconnues (x, y).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Diviser R1 par 2.

Étapes, partie 2. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1. Forme échelonnée réduite. y est une variable libre. Il y a 1 pivots pour 2 inconnues, donc 1 variable est libre. On pose y égale t et on résout les lignes à pivot pour les autres.

La réponse. La réponse est donc Une infinité de solutions: x égale 7 sur 2 moins (3 sur 2)t, y égale t (t tout nombre réel). Les équations sont liées: elles décrivent la même droite ou le même plan (ou une intersection qui est une droite entière), d’où une infinité de solutions.

Vérification. Rang 1 inférieur à 2 inconnues, sans ligne contradictoire: l’ensemble des solutions est une famille à 1 paramètre.

Étapes à l’écran

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