Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:24

Résoudre le système x + y + z = 6, x - y + z = 2, 2x + y - z = 1

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\begin{cases} x+ y+ z = 6 \\ x- y+ z = 2 \\ 2x+ y- z = 1 \end{cases}$
2. Étapes, partie 1
1. $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$
  Écrire chaque équation sous forme standard
2. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
  Construire la matrice augmentée [A | b]
3. Méthode de Gauss-Jordan
4. $R_{2} \to R_{2} - 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
3. Étapes, partie 2
1. $R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -11\end{bmatrix}$
  Diviser R2 par -2
2. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -9\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
3. $R_{3} \to \tfrac{1}{-3} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Diviser R3 par -3
4. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
4. Étapes, partie 3
1. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
  Forme échelonnée réduite
2. $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
  Lire la solution unique
5. La réponse
$x = 1,\ y = 2,\ z = 3$
x + y + z = 6; x - y + z = 2; 2x + y - z = 1 ⇒ x = 1, y = 2, z = 3
6. Vérification
- Équation 1 : x + y + z = 6 ✓
- Équation 2 : x - y + z = 2 ✓
- Équation 3 : 2x + y - z = 1 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système x plus y plus z égale 6, x moins y plus z égale 2, 2x plus y moins z égale 1. 3 équations linéaires à 3 inconnues (x, y, z).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y, z | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1.

Étapes, partie 2. Diviser R2 par moins 2. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2. Diviser R3 par moins 3. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3.

Étapes, partie 3. Forme échelonnée réduite. Lire la solution unique.

La réponse. La réponse est donc x égale 1, y égale 2, z égale 3. Le système a exactement une solution; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification. Équation 1: x plus y plus z égale 6, ce qui est vérifié. Équation 2: x moins y plus z égale 2, ce qui est vérifié. Équation 3: 2x plus y moins z égale 1, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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