Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:11

Résoudre le système x + y = 3, 2x + 2y = 6

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\begin{cases} x+ y = 3 \\ 2x+2y = 6 \end{cases}$
2. Étapes, partie 1
1. $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$
  Écrire chaque équation sous forme standard
2. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6\end{bmatrix}$
  Construire la matrice augmentée [A | b]
3. Méthode de Gauss-Jordan
4. $R_{2} \to R_{2} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
3. Étapes, partie 2
1. $\begin{bmatrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
  Forme échelonnée réduite
2. $x = 3 - t,\ y = t$
  y est une variable libre
4. La réponse
$x = 3 - t,\ y = t$
x + y = 3; 2x + 2y = 6 ⇒ Infinitely many solutions: x = 3 - t, y = t (t any real number)
5. Vérification
- Rang 1 < 2 inconnues, sans ligne contradictoire : l’ensemble des solutions est une famille à 1 paramètre.

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système x plus y égale 3, 2x plus 2y égale 6. 2 équations linéaires à 2 inconnues (x, y).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1.

Étapes, partie 2. Forme échelonnée réduite. y est une variable libre. Il y a 1 pivots pour 2 inconnues, donc 1 variable est libre. On pose y égale t et on résout les lignes à pivot pour les autres.

La réponse. La réponse est donc Une infinité de solutions: x égale 3 moins t, y égale t (t tout nombre réel). Les équations sont liées: elles décrivent la même droite ou le même plan (ou une intersection qui est une droite entière), d’où une infinité de solutions.

Vérification. Rang 1 inférieur à 2 inconnues, sans ligne contradictoire: l’ensemble des solutions est une famille à 1 paramètre.

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