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Résoudre un problème
Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:27

Résoudre le système - 2y - 2z = 2, 2x + 2y - 3z = -14, 2y + 3z = 0

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = -1, y = -3, z = 2.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.6 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y-2z = 2 \\ 2x+2y-3z = -14 \\ 2y+3z = 0 \end{cases}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. {−2y−2z=22x+2y−3z=−142y+3z=0\begin{cases} -2y - 2z = 2 \\ 2x + 2y - 3z = -14 \\ 2y + 3z = 0 \end{cases}
      Écrire chaque équation sous forme standard
    2. [0−2−2222−3−140230]\begin{bmatrix}0 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Construire la matrice augmentée [A | b]
    3. Méthode de Gauss-Jordan
    4. [22−3−140−2−220230]\begin{bmatrix}2 & 2 & -3 & -14 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Échanger R1 et R2
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. R1→12R1: [11−32−70−2−220230]R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Diviser R1 par 2
    2. R2→1−2R2: [11−32−7011−10230]R_{2} \to \tfrac{1}{-2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & -\frac{3}{2} & -7 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end{bmatrix}
      Diviser R2 par -2
    3. R1→R1−1R2, R3→R3−2R2: [10−52−6011−10012]R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{5}{2} & -6 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
    4. R1→R1+52R3, R2→R2−1R3: [100−1010−30012]R_{1} \to R_{1} + \frac{5}{2} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
  4. 4. Étapes, partie 3
    1. [100−1010−30012]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}
      Forme échelonnée réduite
    2. x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2
      Lire la solution unique
  5. 5. La réponse
    x=−1, y=−3, z=2x = -1,\ y = -3,\ z = 2

    -2y - 2z = 2; 2x + 2y - 3z = -14; 2y + 3z = 0 ⇒ x = -1, y = -3, z = 2

  6. 6. Vérification
    • Équation 1 : -2y - 2z = 2 ✓
    • Équation 2 : 2x + 2y - 3z = -14 ✓
    • Équation 3 : 2y + 3z = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système moins 2y moins 2z égale 2, 2x plus 2y moins 3z égale moins 14, 2y plus 3z égale 0. 3 équations linéaires à 3 inconnues (x, y, z).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y, z | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Échanger R1 et R2.

Étapes, partie 2. Diviser R1 par 2. Diviser R2 par moins 2. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3.

Étapes, partie 3. Forme échelonnée réduite. Lire la solution unique.

La réponse. La réponse est donc x égale moins 1, y égale moins 3, z égale 2. Le système a exactement une solution; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification. Équation 1: moins 2y moins 2z égale 2, ce qui est vérifié. Équation 2: 2x plus 2y moins 3z égale moins 14, ce qui est vérifié. Équation 3: 2y plus 3z égale 0, ce qui est vérifié.

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