Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:38

Résoudre le système -3x - 3y - 3z = 9, -3x - y - 3z = 1, -x + 3y + 3z = -25

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\begin{cases} -3x-3y-3z = 9 \\ -3x- y-3z = 1 \\ - x+3y+3z = -25 \end{cases}$
2. Étapes, partie 1
1. $\begin{cases} -3x - 3y - 3z = 9 \\ -3x - y - 3z = 1 \\ -x + 3y + 3z = -25 \end{cases}$
  Écrire chaque équation sous forme standard
2. $\begin{bmatrix}-3 & -3 & -3 & 9 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  Construire la matrice augmentée [A | b]
3. Méthode de Gauss-Jordan
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-3} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 3 & -25\end{bmatrix}$
  Diviser R1 par -3
3. Étapes, partie 2
1. $R_{2} \to R_{2} + 3R_{1},\ R_{3} \to R_{3} + 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 4 & 4 & -28\end{bmatrix}$
  Diviser R2 par 2
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 4R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & -12\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{4} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  Diviser R3 par 4
4. Étapes, partie 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{bmatrix}$
  Forme échelonnée réduite
3. $x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
  Lire la solution unique
5. La réponse
$x = 4,\ y = -4,\ z = -3$
-3x - 3y - 3z = 9; -3x - y - 3z = 1; -x + 3y + 3z = -25 ⇒ x = 4, y = -4, z = -3
6. Vérification
- Équation 1 : -3x - 3y - 3z = 9 ✓
- Équation 2 : -3x - y - 3z = 1 ✓
- Équation 3 : -x + 3y + 3z = -25 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système moins 3x moins 3y moins 3z égale 9, moins 3x moins y moins 3z égale 1, moins x plus 3y plus 3z égale moins 25. 3 équations linéaires à 3 inconnues (x, y, z).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y, z | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Diviser R1 par moins 3.

Étapes, partie 2. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1. Diviser R2 par 2. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2. Diviser R3 par 4.

Étapes, partie 3. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3. Forme échelonnée réduite. Lire la solution unique.

La réponse. La réponse est donc x égale 4, y égale moins 4, z égale moins 3. Le système a exactement une solution; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification. Équation 1: moins 3x moins 3y moins 3z égale 9, ce qui est vérifié. Équation 2: moins 3x moins y moins 3z égale 1, ce qui est vérifié. Équation 3: moins x plus 3y plus 3z égale moins 25, ce qui est vérifié.

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Transcription

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