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Résoudre un problème
Systèmes d’équationsAlgèbreLycée≈ 1:31

Résoudre le système -x - 2y = 8, 2y - z = -4, 2x - 3y - 2z = -2

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = -4, y = -2, z = 0.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.6 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    {−x−2y=82y−z=−42x−3y−2z=−2\begin{cases} - x-2y = 8 \\ 2y- z = -4 \\ 2x-3y-2z = -2 \end{cases}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. {−x−2y=82y−z=−42x−3y−2z=−2\begin{cases} -x - 2y = 8 \\ 2y - z = -4 \\ 2x - 3y - 2z = -2 \end{cases}
      Écrire chaque équation sous forme standard
    2. [−1−20802−1−42−3−2−2]\begin{bmatrix}-1 & -2 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}
      Construire la matrice augmentée [A | b]
    3. Méthode de Gauss-Jordan
    4. R1→1−1R1: [120−802−1−42−3−2−2]R_{1} \to \tfrac{1}{-1} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 2 & -3 & -2 & -2\end{bmatrix}
      Diviser R1 par -1
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. R3→R3−2R1: [120−802−1−40−7−214]R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 2 & -1 & -4 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1
    2. R2→12R2: [120−801−12−20−7−214]R_{2} \to \tfrac{1}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & -7 & -2 & 14\end{bmatrix}
      Diviser R2 par 2
    3. R1→R1−2R2, R3→R3+7R2: [101−401−12−200−1120]R_{1} \to R_{1} - 2R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 7R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & -\frac{11}{2} & 0\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2
    4. R3→1−112R3: [101−401−12−20010]R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{2}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Diviser R3 par -11/2
  4. 4. Étapes, partie 3
    1. R1→R1−1R3, R2→R2+12R3: [100−4010−20010]R_{1} \to R_{1} - 1R_{3},\ R_{2} \to R_{2} + \frac{1}{2} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3
    2. [100−4010−20010]\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}
      Forme échelonnée réduite
    3. x=−4, y=−2, z=0x = -4,\ y = -2,\ z = 0
      Lire la solution unique
  5. 5. La réponse
    x=−4, y=−2, z=0x = -4,\ y = -2,\ z = 0

    -x - 2y = 8; 2y - z = -4; 2x - 3y - 2z = -2 ⇒ x = -4, y = -2, z = 0

  6. 6. Vérification
    • Équation 1 : -x - 2y = 8 ✓
    • Équation 2 : 2y - z = -4 ✓
    • Équation 3 : 2x - 3y - 2z = -2 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Résoudre le système moins x moins 2y égale 8, 2y moins z égale moins 4, 2x moins 3y moins 2z égale moins 2. 3 équations linéaires à 3 inconnues (x, y, z).

Étapes, partie 1. Écrire chaque équation sous forme standard. Passer tous les termes en variables à gauche et les constantes à droite. Construire la matrice augmentée [A | b]. Colonnes: x, y, z | constante. Méthode de Gauss-Jordan. Utiliser des opérations sur les lignes pour rendre chaque pivot égal à 1 et annuler le reste de sa colonne. Diviser R1 par moins 1.

Étapes, partie 2. Annuler la colonne 1 à l’aide du pivot de R1. Diviser R2 par 2. Annuler la colonne 2 à l’aide du pivot de R2. Diviser R3 par moins 11 sur 2.

Étapes, partie 3. Annuler la colonne 3 à l’aide du pivot de R3. Forme échelonnée réduite. Lire la solution unique.

La réponse. La réponse est donc x égale moins 4, y égale moins 2, z égale 0. Le système a exactement une solution; en la remplaçant dans chaque équation, toutes sont vérifiées.

Vérification. Équation 1: moins x moins 2y égale 8, ce qui est vérifié. Équation 2: 2y moins z égale moins 4, ce qui est vérifié. Équation 3: 2x moins 3y moins 2z égale moins 2, ce qui est vérifié.

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