DerivadasCálculoFaculdade≈ 1:37

Derivada de (e^(sin(x)))/(√(x²+x+1))

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³.

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Passos na tela

1. O problema
Exemplo resolvido
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right]$
2. Passos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right] = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Regra do quociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{2}+ x+1}\right] = \frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}$
  Regra da cadeia — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Regra da soma: derivar cada termo separadamente
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Regra da soma: derivar cada termo separadamente
3. Passos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{\sin\left( x\right)}\right] = {e}^{\sin\left( x\right)} \cos\left( x\right)$
  Regra da exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Juntar e simplificar
4. A resposta
$f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³
5. Verificação
- Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste ✓

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O problema. Aqui está o problema: Derivada de (e elevado a sin(x)))/(sqrt(x ao quadrado mais x mais 1)). Calcular a derivada de (e elevado a sin(x))) / (sqrt(x ao quadrado mais x mais 1)) em relação a x.

Passos, parte 1. Regra do quociente: (u/v) linha igual a (u linha v menos uv linha )/v ao quadrado. Regra da cadeia — d sobre d x[a raiz quadrada de u] igual a u linha /(2a raiz quadrada de u. Regra da soma: derivar cada termo separadamente. Regra da soma: derivar cada termo separadamente.

Passos, parte 2. Regra da potência: d sobre d x[x elevado a n] igual a n vezes x elevado a n menos 1. Regra da exponencial: d sobre d x[eᵘ] igual a eᵘ vezes u linha. d sobre d x[sin x] igual a cos x. Juntar e simplificar.

A resposta. Portanto, a resposta é f linha de x igual a ((menos 2x menos 1) / 2 mais sqrt(x ao quadrado mais x mais 1) ao quadrado vezes cos(x)) vezes e elevado a sin(x) / sqrt(x ao quadrado mais x mais 1) ao cubo. A derivada se constrói de fora para dentro: as somas se separam em termos, as constantes saem como fator, os produtos e os quocientes seguem as suas regras, e cada função composta é multiplicada pela derivada da sua função interna (regra da cadeia).

Verificação. Conferido numericamente com um derivador simbólico independente em 8 pontos de teste, o que confere.

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