Pular para o conteúdo
MathSolver Pro
  • Abrir o resolvedor
  • Perguntar ao tutor IA
  • Encontrar um curso AP
  • Criar um quiz
  • Abrir a calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas as calculadoras
  • Ler guias de matemática
↑ ↓Enter para abrir · Esc para fechar
Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 1:37

Calcule a soma de 1/3ⁿ de n=1 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (série geométrica (|r| < 1)); soma = 1/2.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=1∞13n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=1∞13n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}
      Escrever a série
    2. S=a1−r=12S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}
      Reconhecer uma série geométrica
  3. 3. A resposta
    ∑n=1∞13n converge=12\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{converge} = \frac{1}{2}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de 1 sobre 3 elevado a n de n igual a 1 a infinito. Decidir se Σ 1 sobre 3 elevado a n (n de 1 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 1, 2, 3, … com a(n) igual a 1 sobre 3 elevado a n. Primeiros termos: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Reconhecer uma série geométrica. Cada termo é o anterior vezes r igual a 1 sobre 3 (conferido nos 40 primeiros termos), com primeiro termo a igual a 1 sobre 3. Como |r| menor que 1, a série converge e a sua soma é a/(1 menos r) igual a 1 sobre 2 aproximadamente 0.5.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (série geométrica (|r| menor que 1)); soma igual a 1 sobre 2. Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 0.49999153, S₁₀₀ igual a 0.5, S₁₀₀₀ igual a 0.5, S₁₀₀₀₀ igual a 0.5.

Mais aulas como esta

Calcule a soma de 1/3ⁿ de n=1 a ∞: videoaula passo a passo