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Resolver um problema
Sequências e sériesÁlgebraFaculdade≈ 1:31

Calcule a soma de (2/3)ⁿ de n=0 a ∞

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: A série converge (série geométrica (|r| < 1)); soma = 3.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    ∑n=0∞(23)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n}
  2. 2. Passo a passo
    1. ∑n=0∞(23)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n}
      Escrever a série
    2. S=a1−r=3S = \frac{a}{1-r} = 3
      Reconhecer uma série geométrica
  3. 3. A resposta
    ∑n=0∞(23)n converge=3\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n} \ \text{converge} = 3

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 3

  4. 4. Verificação
    • Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ = 2.9479754, S₁₀₀ = 3, S₁₀₀₀ = 3, S₁₀₀₀₀ = 3

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: Calcule a soma de (2 sobre 3) elevado a n de n igual a 0 a infinito. Decidir se Σ (2 sobre 3) elevado a n (n de 0 a ∞) converge ou diverge.

Passo a passo. Escrever a série. Σ a(n) para n igual a 0, 1, 2, … com a(n) igual a (2 sobre 3) elevado a n. Primeiros termos: 1, 0.666667, 0.444444, 0.296296, …. Reconhecer uma série geométrica. Cada termo é o anterior vezes r igual a 2 sobre 3 (conferido nos 40 primeiros termos), com primeiro termo a igual a 1. Como |r| menor que 1, a série converge e a sua soma é a/(1 menos r) igual a 3.

A resposta. Portanto, a resposta é A série converge (série geométrica (|r| menor que 1)); soma igual a 3. Uma série converge quando as suas somas parciais se aproximam de um número finito. Para isso, o termo geral precisa tender a 0, mas só isso não basta (a série harmônica diverge); por isso se decide com um teste da comparação, da razão, da raiz, das séries alternadas ou da integral.

Verificação. Somas parciais (indício, não prova): S₁₀ igual a 2.9479754, S₁₀₀ igual a 3, S₁₀₀₀ igual a 3, S₁₀₀₀₀ igual a 3.

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