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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:16

Resolver tan(x)² = 3

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/3 + πk, x = 2π/3 + πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    tan⁡(x)2=3{\tan\left( x\right)}^{2} = 3
  2. 2. Passos, parte 1
    1. tan⁡(x)2=3{\tan\left( x\right)}^{2} = 3
      Partir da equação
    2. f(x)=tan⁡(x)2−3=0f(x) = {\tan\left( x\right)}^{2}-3 = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π3, x=2π3x = \frac{\pi}{3},\ x = \frac{2\pi}{3}
      Soluções em um período [0, π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π3+πk,x=2π3+πk,k∈Zx = \frac{\pi}{3} + \pi k,\quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π3+πk, x=2π3+πk, k∈Zx = \frac{\pi}{3} + \pi k,\ x = \frac{2\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/3 + πk, x = 2π/3 + πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 1.0471976: lado esquerdo = 3, lado direito = 3 ✓
    • x = 2.0943951: lado esquerdo = 3, lado direito = 3 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: tan(x) ao quadrado igual a 3. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/3 mais pik, x igual a 2pi/3 mais pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 1.0471976: lado esquerdo igual a 3, lado direito igual a 3, o que confere. x igual a 2.0943951: lado esquerdo igual a 3, lado direito igual a 3, o que confere.

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