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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:17

Resolver cos(2x) = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/4 + πk, x = 3π/4 + πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    cos⁡(2 x)=0\cos\left(2~ x\right) = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. cos⁡(2 x)=0\cos\left(2~ x\right) = 0
      Partir da equação
    2. f(x)=cos⁡(2 x)=0f(x) = \cos\left(2~ x\right) = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π4, x=3π4x = \frac{\pi}{4},\ x = \frac{3\pi}{4}
      Soluções em um período [0, π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π4+πk,x=3π4+πk,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \pi k,\quad x = \frac{3\pi}{4} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π4+πk, x=3π4+πk, k∈Zx = \frac{\pi}{4} + \pi k,\ x = \frac{3\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/4 + πk, x = 3π/4 + πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 0.78539816: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 2.3561945: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: cos(2x) igual a 0. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/4 mais pik, x igual a 3pi/4 mais pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 0.78539816: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 2.3561945: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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