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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:26

Resolver sin(x)² = 1/4

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/6 + πk, x = 5π/6 + πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    sin⁡(x)2=14{\sin\left( x\right)}^{2} = \frac{1}{4}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. sin⁡(x)2=14{\sin\left( x\right)}^{2} = \frac{1}{4}
      Partir da equação
    2. f(x)=sin⁡(x)2+−14=0f(x) = {\sin\left( x\right)}^{2}+\frac{-1}{4} = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π6, x=5π6x = \frac{\pi}{6},\ x = \frac{5\pi}{6}
      Soluções em um período [0, π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π6+πk,x=5π6+πk,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + \pi k,\quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π6+πk, x=5π6+πk, k∈Zx = \frac{\pi}{6} + \pi k,\ x = \frac{5\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/6 + πk, x = 5π/6 + πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 0.52359878: lado esquerdo = 0.25, lado direito = 0.25 ✓
    • x = 2.6179939: lado esquerdo = 0.25, lado direito = 0.25 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: sin(x) ao quadrado igual a 1 sobre 4. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/6 mais pik, x igual a 5pi/6 mais pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 0.52359878: lado esquerdo igual a 0.25, lado direito igual a 0.25, o que confere. x igual a 2.6179939: lado esquerdo igual a 0.25, lado direito igual a 0.25, o que confere.

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