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Resolver um problema
Equações trigonométricasTrigonometriaEnsino médio≈ 1:25

Resolver sin(x/2) = 1/2

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = π/3 + 4πk, x = 5π/3 + 4πk (k qualquer número inteiro).

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    sin⁡(x2)=12\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}
  2. 2. Passos, parte 1
    1. sin⁡(x2)=12\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}
      Partir da equação
    2. f(x)=sin⁡(x2)+−12=0f(x) = \sin\left(\frac{ x}{2}\right)+\frac{-1}{2} = 0
      Reescrever como f(x) = 0
    3. O lado esquerdo se repete a cada 4π, então encontrar as soluções em um período
    4. x=π3, x=5π3x = \frac{\pi}{3},\ x = \frac{5\pi}{3}
      Soluções em um período [0, 4π)
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x=π3+4πk,x=5π3+4πk,k∈Zx = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Adicionar qualquer número inteiro de períodos
  4. 4. A resposta
    x=π3+4πk, x=5π3+4πk, k∈Zx = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\ x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/3 + 4πk, x = 5π/3 + 4πk (k any integer)

  5. 5. Verificação
    • x = 1.0471976: lado esquerdo = 0.5, lado direito = 0.5 ✓
    • x = 5.2359878: lado esquerdo = 0.5, lado direito = 0.5 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: sin(x/2) igual a 1 sobre 2. Uma equação periódica em x: ela tem infinitas soluções, uma família para cada solução em um único período.

Passos, parte 1. Partir da equação. Reescrever como f(x) igual a 0. O lado esquerdo se repete a cada 4pi, então encontrar as soluções em um período. f(x mais 4pi) igual a f(x) para todo x, então cada solução é uma das soluções em [0, 4pi) mais um número inteiro de períodos. Soluções em um período [0, 4pi).

Passos, parte 2. Adicionar qualquer número inteiro de períodos.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a pi/3 mais 4pik, x igual a 5pi/3 mais 4pik (k qualquer número inteiro). Cada solução em um período foi encontrada numericamente, correspondida a um valor exato e confirmada por substituição; adicionar períodos completos fornece todas as soluções.

Verificação. x igual a 1.0471976: lado esquerdo igual a 0.5, lado direito igual a 0.5, o que confere. x igual a 5.2359878: lado esquerdo igual a 0.5, lado direito igual a 0.5, o que confere.

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