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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:31

Resolver x³ - 11x² + 40x - 48 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 3, x = 4.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3−11 x2+40 x−48=0{ x}^{3}-11~{ x}^{2}+40~ x-48 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3−11 x2+40 x−48=0{ x}^{3}-11~{ x}^{2}+40~ x-48 = 0
      Partir da equação
    2. x3−11x2+40x−48=0x^{3} - 11x^{2} + 40x - 48 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2−8x+16=0x^{2} - 8x + 16 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 3 é uma raiz
    4. x−4=0x - 4 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 4 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 4 é uma raiz
    2. x=3,x=4x = 3,\quad x = 4
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    1234567-50-40-30-20-1010203040x = 3x = 4
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=3, x=4x = 3,\ x = 4

    x = 3, x = 4

  6. 6. Verificação
    • x = 3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo menos 11x ao quadrado mais 40x menos 48 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 3 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 3) deixa um polinômio de grau 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 4) deixa um polinômio de grau 1.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 4) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 3, x igual a 4. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a 3: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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