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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:41

Resolver x³ - 4x² - 25x + 100 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -5, x = 4, x = 5.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3−4 x2−25 x+100=0{ x}^{3}-4~{ x}^{2}-25~ x+100 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3−4 x2−25 x+100=0{ x}^{3}-4~{ x}^{2}-25~ x+100 = 0
      Partir da equação
    2. x3−4x2−25x+100=0x^{3} - 4x^{2} - 25x + 100 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2−9x+20=0x^{2} - 9x + 20 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -5 é uma raiz
    4. x−5=0x - 5 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 4 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 5 é uma raiz
    2. x=−5,x=4,x=5x = -5,\quad x = 4,\quad x = 5
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -8-6-4-22468-60-40-20204060x = -5x = 4x = 5
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−5, x=4, x=5x = -5,\ x = 4,\ x = 5

    x = -5, x = 4, x = 5

  6. 6. Verificação
    • x = -5: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 5: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo menos 4x ao quadrado menos 25x mais 100 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 5 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 5) deixa um polinômio de grau 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 4) deixa um polinômio de grau 1.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 5 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 5) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 5, x igual a 4, x igual a 5. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 5: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 5: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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