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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:22

Resolver x³ - 27 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 3; complexo: -1.5 ± 2.5980762i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3−27=0{ x}^{3}-27 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3−27=0{ x}^{3}-27 = 0
      Partir da equação
    2. x3−27=0x^{3} - 27 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2+3x+9=0x^{2} + 3x + 9 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 3 é uma raiz
    4. x2+3x+9=0x^{2} + 3x + 9 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Δ=b2−4ac=32−4⋅1⋅9=−27\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -27
      Calcular o discriminante
    2. Δ < 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas
    3. x=−3±−272=−3±33 i2x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara com √(−1) = i
    4. x=−3±33 i2x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}
      Simplificar
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=3x = 3
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    123456-30-20-101020304050x = 3
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=3x = 3

    x = 3

  7. 7. Verificação
    • x = 3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo menos 27 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 3 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 3) deixa um polinômio de grau 2. Resolver a equação do segundo grau restante.

Passos, parte 2. Calcular o discriminante. delta menor que 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas. Aplicar a fórmula de Bhaskara com a raiz quadrada de menos 1 igual a i. Simplificar.

Passos, parte 3. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 3; complexo: menos 1.5 mais ou menos 2.5980762i. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a 3: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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