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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:32

Resolver x³ - 3x + 1 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -1.8793852, x = 0.34729636, x = 1.5320889.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3−3 x+1=0{ x}^{3}-3~ x+1 = 0
  2. 2. Passo a passo
    1. x3−3 x+1=0{ x}^{3}-3~ x+1 = 0
      Partir da equação
    2. x3−3x+1=0x^{3} - 3x + 1 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. Não há mais raízes racionais; aproximar as 3 raízes restantes numericamente
    4. x=−1.8793852,x=0.34729636,x=1.5320889x = -1.8793852,\quad x = 0.34729636,\quad x = 1.5320889
      Reunir as soluções reais
  3. 3. No gráfico
    -5-4-3-2-112345-60-40-20204060x = -1.8793852x = 0.34729636x = 1.5320889
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  4. 4. A resposta
    x=−1.8793852, x=0.34729636, x=1.5320889x = -1.8793852,\ x = 0.34729636,\ x = 1.5320889

    x = -1.8793852, x = 0.34729636, x = 1.5320889

  5. 5. Verificação
    • x = -1.8793852: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 0.34729636: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 1.5320889: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo menos 3x mais 1 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passo a passo. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Não há mais raízes racionais; aproximar as 3 raízes restantes numericamente. O método de Durand–Kerner itera sobre todas as raízes de uma vez até que parem de mudar. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 1.8793852, x igual a 0.34729636, x igual a 1.5320889. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 1.8793852: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 0.34729636: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 1.5320889: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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