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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:20

Resolver x³ = 8

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 2; complexo: -1 ± 1.7320508i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3=8{ x}^{3} = 8
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3=8{ x}^{3} = 8
      Partir da equação
    2. x3−8=0x^{3} - 8 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2+2x+4=0x^{2} + 2x + 4 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 2 é uma raiz
    4. x2+2x+4=0x^{2} + 2x + 4 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Δ=b2−4ac=22−4⋅1⋅4=−12\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12
      Calcular o discriminante
    2. Δ < 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas
    3. x=−2±−122=−2±23 i2x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara com √(−1) = i
    4. x=−1±3 ix = -1 \pm \sqrt{3}\,i
      Simplificar
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=2x = 2
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    -112345-101020304050x = 2
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=2x = 2

    x = 2

  7. 7. Verificação
    • x = 2: lado esquerdo = 8, lado direito = 8 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo igual a 8. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 2) deixa um polinômio de grau 2. Resolver a equação do segundo grau restante.

Passos, parte 2. Calcular o discriminante. delta menor que 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas. Aplicar a fórmula de Bhaskara com a raiz quadrada de menos 1 igual a i. Simplificar.

Passos, parte 3. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 2; complexo: menos 1 mais ou menos 1.7320508i. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a 2: lado esquerdo igual a 8, lado direito igual a 8, o que confere.

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