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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:22

Resolver x³ + 1 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -1; complexo: 0.5 ± 0.8660254i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.5 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+1=0{ x}^{3}+1 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+1=0{ x}^{3}+1 = 0
      Partir da equação
    2. x3+1=0x^{3} + 1 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2−x+1=0x^{2} - x + 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -1 é uma raiz
    4. x2−x+1=0x^{2} - x + 1 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=−3\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3
      Calcular o discriminante
    2. Δ < 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas
    3. x=1±−32=1±3 i2x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara com √(−1) = i
    4. x=1±3 i2x = \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Simplificar
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=−1x = -1
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    -4-3-2-112-50-40-30-20-1010x = -1
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=−1x = -1

    x = -1

  7. 7. Verificação
    • x = -1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 1 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 1) deixa um polinômio de grau 2. Resolver a equação do segundo grau restante.

Passos, parte 2. Calcular o discriminante. delta menor que 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas. Aplicar a fórmula de Bhaskara com a raiz quadrada de menos 1 igual a i. Simplificar.

Passos, parte 3. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 1; complexo: 0.5 mais ou menos 0.8660254i. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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