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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:42

Resolver x³ + 2x² - 16x - 32 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -4, x = -2, x = 4.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+2 x2−16 x−32=0{ x}^{3}+2~{ x}^{2}-16~ x-32 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+2 x2−16 x−32=0{ x}^{3}+2~{ x}^{2}-16~ x-32 = 0
      Partir da equação
    2. x3+2x2−16x−32=0x^{3} + 2x^{2} - 16x - 32 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2−2x−8=0x^{2} - 2x - 8 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -4 é uma raiz
    4. x−4=0x - 4 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -2 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 4 é uma raiz
    2. x=−4,x=−2,x=4x = -4,\quad x = -2,\quad x = 4
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -6-4-2246-60-40-20204060x = -4x = -2x = 4
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−4, x=−2, x=4x = -4,\ x = -2,\ x = 4

    x = -4, x = -2, x = 4

  6. 6. Verificação
    • x = -4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 2x ao quadrado menos 16x menos 32 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 4) deixa um polinômio de grau 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 2) deixa um polinômio de grau 1.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 4) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 4, x igual a menos 2, x igual a 4. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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