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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:42

Resolver x³ + 7x² + 14x + 8 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -4, x = -2, x = -1.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+7 x2+14 x+8=0{ x}^{3}+7~{ x}^{2}+14~ x+8 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+7 x2+14 x+8=0{ x}^{3}+7~{ x}^{2}+14~ x+8 = 0
      Partir da equação
    2. x3+7x2+14x+8=0x^{3} + 7x^{2} + 14x + 8 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2+3x+2=0x^{2} + 3x + 2 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -4 é uma raiz
    4. x+1=0x + 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -2 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -1 é uma raiz
    2. x=−4,x=−2,x=−1x = -4,\quad x = -2,\quad x = -1
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -7-6-5-4-3-2-112-60-40-20204060x = -4x = -2x = -1
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−4, x=−2, x=−1x = -4,\ x = -2,\ x = -1

    x = -4, x = -2, x = -1

  6. 6. Verificação
    • x = -4: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 7x ao quadrado mais 14x mais 8 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 4 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 4) deixa um polinômio de grau 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 2) deixa um polinômio de grau 1.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 1) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 4, x igual a menos 2, x igual a menos 1. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 4: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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