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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:58

Resolver x⁴ - 5x² + 4 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -2, x = -1, x = 1, x = 2.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−5 x2+4=0{ x}^{4}-5~{ x}^{2}+4 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−5 x2+4=0{ x}^{4}-5~{ x}^{2}+4 = 0
      Partir da equação
    2. x4−5x2+4=0x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x3−2x2−x+2=0x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -2 é uma raiz
    4. x2−3x+2=0x^{2} - 3x + 2 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -1 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x−2=0x - 2 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
    2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 2 é uma raiz
    3. x=−2,x=−1,x=1,x=2x = -2,\quad x = -1,\quad x = 1,\quad x = 2
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -5-4-3-2-1123451020304050x = -2x = -1x = 1x = 2
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−2, x=−1, x=1, x=2x = -2,\ x = -1,\ x = 1,\ x = 2

    x = -2, x = -1, x = 1, x = 2

  6. 6. Verificação
    • x = -2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 5x ao quadrado mais 4 igual a 0. Equação polinomial de grau 4 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 2) deixa um polinômio de grau 3. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 1) deixa um polinômio de grau 2.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 1) deixa um polinômio de grau 1. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 2) deixa um polinômio de grau 0. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 2, x igual a menos 1, x igual a 1, x igual a 2. Um polinômio de grau 4 tem exatamente 4 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Raízes racionais exatas são encontradas primeiro, depois as restantes são resolvidas exatamente ou aproximadas.

Verificação. x igual a menos 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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