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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:51

Resolver x³ + 3x² - 6x - 18 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -3, x = - √6 ≈ -2.4494897, x = √6 ≈ 2.4494897.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x3+3 x2−6 x−18=0{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x3+3 x2−6 x−18=0{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0
      Partir da equação
    2. x3+3x2−6x−18=0x^{3} + 3x^{2} - 6x - 18 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -3 é uma raiz
    4. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅(−6)=24\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 24
      Calcular o discriminante
    2. Δ > 0, então há duas raízes reais distintas
    3. x=−b±Δ2a=0±242x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{24}}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara
    4. 24=26\sqrt{24} = 2\sqrt{6}
      Simplificar a raiz quadrada
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=±6x = \pm \sqrt{6}
      Simplificar a fração
    2. x=−3,x=−6≈−2.4494897,x=6≈2.4494897x = -3,\quad x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\quad x = \sqrt{6} \approx 2.4494897
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    -6-5-4-3-2-1-50-40-30-20-10x = -3
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=−3, x=−6≈−2.4494897, x=6≈2.4494897x = -3,\ x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\ x = \sqrt{6} \approx 2.4494897

    x = -3, x = - √6 ≈ -2.4494897, x = √6 ≈ 2.4494897

  7. 7. Verificação
    • x = -3: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = -2.4494897: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 2.4494897: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x ao cubo mais 3x ao quadrado menos 6x menos 18 igual a 0. Equação polinomial de grau 3 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 3 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 3) deixa um polinômio de grau 2. Resolver a equação do segundo grau restante.

Passos, parte 2. Calcular o discriminante. delta maior que 0, então há duas raízes reais distintas. Aplicar a fórmula de Bhaskara. Simplificar a raiz quadrada.

Passos, parte 3. Simplificar a fração. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 3, x igual a menos a raiz quadrada de 6 aproximadamente menos 2.4494897, x igual a a raiz quadrada de 6 aproximadamente 2.4494897. Um polinômio de grau 3 tem exatamente 3 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Primeiro se buscam as raízes racionais exatas; depois, as demais são calculadas de forma exata ou aproximada.

Verificação. x igual a menos 3: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a menos 2.4494897: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 2.4494897: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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