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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:44

Resolver x⁴ - 2x³ - x + 2 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = 1, x = 2; complexo: -0.5 ± 0.8660254i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.7 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x4−2 x3−x+2=0{ x}^{4}-2~{ x}^{3}- x+2 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x4−2 x3−x+2=0{ x}^{4}-2~{ x}^{3}- x+2 = 0
      Partir da equação
    2. x4−2x3−x+2=0x^{4} - 2x^{3} - x + 2 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x3−x2−x−2=0x^{3} - x^{2} - x - 2 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
    4. x2+x+1=0x^{2} + x + 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 2 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x2+x+1=0x^{2} + x + 1 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
    2. Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅1=−3\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3
      Calcular o discriminante
    3. Δ < 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas
    4. x=−1±−32=−1±3 i2x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara com √(−1) = i
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=−1±3 i2x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Simplificar
    2. x=1,x=2x = 1,\quad x = 2
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    -2-1123451020304050x = 1x = 2
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=1, x=2x = 1,\ x = 2

    x = 1, x = 2

  7. 7. Verificação
    • x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 4 menos 2x ao cubo menos x mais 2 igual a 0. Equação polinomial de grau 4 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 1) deixa um polinômio de grau 3. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 2) deixa um polinômio de grau 2.

Passos, parte 2. Resolver a equação do segundo grau restante. Calcular o discriminante. delta menor que 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas. Aplicar a fórmula de Bhaskara com a raiz quadrada de menos 1 igual a i.

Passos, parte 3. Simplificar. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a 1, x igual a 2; complexo: menos 0.5 mais ou menos 0.8660254i. Um polinômio de grau 4 tem exatamente 4 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Raízes racionais exatas são encontradas primeiro, depois as restantes são resolvidas exatamente ou aproximadas.

Verificação. x igual a 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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