Pular para o conteúdo
MathSolver Pro
  • Abrir o resolvedor
  • Perguntar ao tutor IA
  • Encontrar um curso AP
  • Criar um quiz
  • Abrir a calculadora
  • Calculadora gráfica
  • Ver todas as calculadoras
  • Ler guias de matemática
↑ ↓Enter para abrir · Esc para fechar
Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:57

Resolver x⁵ - x = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -1, x = 0, x = 1; complexo: ±i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.8 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
      Partir da equação
    2. x5−x=0x^{5} - x = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x4−1=0x^{4} - 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 0 é uma raiz
    4. x3−x2+x−1=0x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -1 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 1 é uma raiz
    2. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Resolver a equação do segundo grau restante
    3. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅1=−4\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4
      Calcular o discriminante
    4. Δ < 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas
  4. 4. Passos, parte 3
    1. x=0±−42=0±2 i2x = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{0 \pm 2\,i}{2}
      Aplicar a fórmula de Bhaskara com √(−1) = i
    2. x=±ix = \pm i
      Simplificar
    3. x=−1,x=0,x=1x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1
      Reunir as soluções reais
  5. 5. No gráfico
    -4-3-2-11234-60-40-20204060x = -1x = 0x = 1
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  6. 6. A resposta
    x=−1, x=0, x=1x = -1,\ x = 0,\ x = 1

    x = -1, x = 0, x = 1

  7. 7. Verificação
    • x = -1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 0: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 1: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 5 menos x igual a 0. Equação polinomial de grau 5 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 0 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 0) deixa um polinômio de grau 4. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 1) deixa um polinômio de grau 3.

Passos, parte 2. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 1 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 1) deixa um polinômio de grau 2. Resolver a equação do segundo grau restante. Calcular o discriminante. delta menor que 0, então não há raízes reais; as duas raízes são complexas conjugadas.

Passos, parte 3. Aplicar a fórmula de Bhaskara com a raiz quadrada de menos 1 igual a i. Simplificar. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 1, x igual a 0, x igual a 1; complexo: mais ou menos i. Um polinômio de grau 5 tem exatamente 5 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Raízes racionais exatas são encontradas primeiro, depois as restantes são resolvidas exatamente ou aproximadas.

Verificação. x igual a menos 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 0: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 1: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

Mais aulas como esta

Resolver x⁵ - x = 0: videoaula passo a passo