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Resolver um problema
Equações polinomiaisÁlgebraEnsino médio≈ 1:40

Resolver x⁶ - 64 = 0

Uma aula animada passo a passo. Toque em Reproduzir para ver cada passo com legendas, ou leia os passos e a transcrição abaixo. Resposta: x = -2, x = 2; complexo: 1 ± 1.7320508i, -1 ± 1.7320508i.

Vídeo gravado: a voz e a escrita na imagem estão em inglês. Legendas: Português. Para narração neste idioma, abra a versão interativa.

Vídeo em inglês: Baixar MP4 (0.6 MB) · Legendas (WebVTT): Português · Legendas em inglês (WebVTT)

Passos na tela

  1. 1. O problema
    Exemplo resolvido
    x6−64=0{ x}^{6}-64 = 0
  2. 2. Passos, parte 1
    1. x6−64=0{ x}^{6}-64 = 0
      Partir da equação
    2. x6−64=0x^{6} - 64 = 0
      Passar todos os termos para um lado
    3. x5−2x4+4x3−8x2+16x−32=0x^{5} - 2x^{4} + 4x^{3} - 8x^{2} + 16x - 32 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = -2 é uma raiz
    4. x4+4x2+16=0x^{4} + 4x^{2} + 16 = 0
      Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x = 2 é uma raiz
  3. 3. Passos, parte 2
    1. Não há mais raízes racionais; aproximar as 4 raízes restantes numericamente
    2. x=−2,x=2x = -2,\quad x = 2
      Reunir as soluções reais
  4. 4. No gráfico
    -5-4-3-2-112345-60-40-20204060x = -2x = 2
    Cada solução é um ponto onde o gráfico cruza o zero.
  5. 5. A resposta
    x=−2, x=2x = -2,\ x = 2

    x = -2, x = 2

  6. 6. Verificação
    • x = -2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓
    • x = 2: lado esquerdo = 0, lado direito = 0 ✓

Transcrição

O problema. Aqui está o problema: x elevado a 6 menos 64 igual a 0. Equação polinomial de grau 6 em x.

Passos, parte 1. Partir da equação. Passar todos os termos para um lado. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a menos 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x mais 2) deixa um polinômio de grau 5. Testar os candidatos do teorema das raízes racionais: x igual a 2 é uma raiz. A divisão sintética (Briot-Ruffini) por (x menos 2) deixa um polinômio de grau 4.

Passos, parte 2. Não há mais raízes racionais; aproximar as 4 raízes restantes numericamente. O método de Durand–Kerner itera sobre todas as raízes de uma vez até que parem de mudar. Reunir as soluções reais.

No gráfico. Agora observe o gráfico do lado esquerdo menos o lado direito. Ele cruza o zero exatamente nas soluções encontradas.

A resposta. Portanto, a resposta é x igual a menos 2, x igual a 2; complexo: 1 mais ou menos 1.7320508i, menos 1 mais ou menos 1.7320508i. Um polinômio de grau 6 tem exatamente 6 raízes contadas com multiplicidade (algumas podem ser complexas). Raízes racionais exatas são encontradas primeiro, depois as restantes são resolvidas exatamente ou aproximadas.

Verificação. x igual a menos 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere. x igual a 2: lado esquerdo igual a 0, lado direito igual a 0, o que confere.

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