Определённые интегралыМатематический анализВуз≈ 1:17

Интегрируйте x² - 4x + 3 от 0 до 3

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: 0.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx$
2. Шаги, часть 1
1. $\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx$
  Записываем определённый интеграл
2. $\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. $\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}$
  Интеграл степени: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
4. $\int 4x\,dx = 2{x}^{2}$
  Вынесение постоянного множителя: ∫ k·f dx = k∫ f dx
3. Шаги, часть 2
1. $\int {x}^{2}-4x\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}$
  Правило суммы: интегрируем почленно
2. $\int 3\,dx = 3x$
  Правило константы: ∫ k dx = kx
3. $\int {x}^{2}-4x+3\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}$
  Правило суммы: интегрируем почленно
4. $F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}$
  Первообразная
4. Шаги, часть 3
1. $F(3) - F(0) = 0 - 0 = 0$
  Применяем формулу Ньютона — Лейбница
5. Ответ
$\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx = 0$
∫ from 0 to 3 = 0
6. Проверка
- Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией ✓
- Адаптивный метод Симпсона даёт 0 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: Интегрируйте x в квадрате минус 4x плюс 3 от 0 до 3. Вычислим определённый интеграл от x в квадрате минус 4 x плюс 3 в пределах от x равно 0 до x равно 3.

Шаги, часть 1. Записываем определённый интеграл. Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Интеграл степени: интеграл от x в степени n dx равно x в степени n плюс 1/(n плюс 1). Вынесение постоянного множителя: интеграл от k умножить на f dx равно k интеграл от f dx.

Шаги, часть 2. Правило суммы: интегрируем почленно. Правило константы: интеграл от k dx равно kx. Правило суммы: интегрируем почленно. Первообразная.

Шаги, часть 3. Применяем формулу Ньютона — Лейбница.

Ответ. Итак, ответ: 0. Определённый интеграл даёт ориентированную площадь между кривой и осью x: площадь над осью считается положительной, а под осью — отрицательной.

Проверка. Продифференцировали первообразную и сравнили её с подынтегральной функцией, что верно. Адаптивный метод Симпсона даёт 0, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки