Тригонометрические уравненияТригонометрияСтаршая школа≈ 1:43

Решите cos(x) = sin(x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk (k любое целое число).

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\cos\left( x\right) = \sin\left( x\right)$
2. Шаги, часть 1
1. $\cos\left( x\right) = \sin\left( x\right)$
  Записываем исходное уравнение
2. $f(x) = \cos\left( x\right)-\sin\left( x\right) = 0$
  Записываем в виде f(x) = 0
3. Левая часть повторяется каждые 2π, поэтому найдите решения в одном периоде
4. $x = \frac{\pi}{4},\ x = \frac{5\pi}{4}$
  Решения в одном периоде [0, 2π)
3. Шаги, часть 2
1. $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  Добавьте любое целое число периодов
4. Ответ
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk (k any integer)
5. Проверка
- x = 0.78539816: левая часть = 0.70710678, правая часть = 0.70710678 ✓
- x = 3.9269908: левая часть = -0.70710678, правая часть = -0.70710678 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: cos(x) равно sin(x). Периодическое уравнение относительно x: оно имеет бесконечно много решений, по одному семейству для каждого решения в одном периоде.

Шаги, часть 1. Записываем исходное уравнение. Записываем в виде f(x) равно 0. Левая часть повторяется каждые 2пи, поэтому найдите решения в одном периоде. f(x плюс 2пи) равно f(x) для любого x, поэтому каждое решение является одним из решений в [0, 2пи) плюс целое число периодов. Решения в одном периоде [0, 2пи).

Шаги, часть 2. Добавьте любое целое число периодов.

Ответ. Итак, ответ: x равно пи/4 плюс 2пиk, x равно 5пи/4 плюс 2пиk (k любое целое число). Каждое решение в одном периоде было найдено численно, сопоставлено с точным значением и подтверждено подстановкой; добавление целых периодов дает все решения.

Проверка. x равно 0.78539816: левая часть равно 0.70710678, правая часть равно 0.70710678, что верно. x равно 3.9269908: левая часть равно минус 0.70710678, правая часть равно минус 0.70710678, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки