Перейти к содержимому
MathSolver Pro
  • Открыть решатель
  • Спросить ИИ-репетитора
  • Найти курс AP
  • Создать тест
  • Открыть калькулятор
  • Графический калькулятор
  • Все калькуляторы
  • Читать руководства по математике
↑ ↓Enter — открыть · Esc — закрыть
Решить задачу
Тригонометрические уравненияТригонометрияСтаршая школа≈ 2:01

Решите sin(2x) = cos(x)

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = π/6 + 2πk, x = π/2 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk (k любое целое число).

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.8 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

  1. 1. Задача
    Разобранный пример
    sin⁡(2 x)=cos⁡(x)\sin\left(2~ x\right) = \cos\left( x\right)
  2. 2. Шаги, часть 1
    1. sin⁡(2 x)=cos⁡(x)\sin\left(2~ x\right) = \cos\left( x\right)
      Записываем исходное уравнение
    2. f(x)=sin⁡(2 x)−cos⁡(x)=0f(x) = \sin\left(2~ x\right)-\cos\left( x\right) = 0
      Записываем в виде f(x) = 0
    3. Левая часть повторяется каждые 2π, поэтому найдите решения в одном периоде
    4. x=π6, x=π2, x=5π6, x=3π2x = \frac{\pi}{6},\ x = \frac{\pi}{2},\ x = \frac{5\pi}{6},\ x = \frac{3\pi}{2}
      Решения в одном периоде [0, 2π)
  3. 3. Шаги, часть 2
    1. x=π6+2πk,x=π2+2πk,x=5π6+2πk,x=3π2+2πk,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Добавьте любое целое число периодов
  4. 4. Ответ
    x=π6+2πk, x=π2+2πk, x=5π6+2πk, x=3π2+2πk, k∈Zx = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/6 + 2πk, x = π/2 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Проверка
    • x = 0.52359878: левая часть = 0.8660254, правая часть = 0.8660254 ✓
    • x = 1.5707963: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
    • x = 2.6179939: левая часть = -0.8660254, правая часть = -0.8660254 ✓
    • x = 4.712389: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: sin(2x) равно cos(x). Периодическое уравнение относительно x: оно имеет бесконечно много решений, по одному семейству для каждого решения в одном периоде.

Шаги, часть 1. Записываем исходное уравнение. Записываем в виде f(x) равно 0. Левая часть повторяется каждые 2пи, поэтому найдите решения в одном периоде. f(x плюс 2пи) равно f(x) для любого x, поэтому каждое решение является одним из решений в [0, 2пи) плюс целое число периодов. Решения в одном периоде [0, 2пи).

Шаги, часть 2. Добавьте любое целое число периодов.

Ответ. Итак, ответ: x равно пи/6 плюс 2пиk, x равно пи/2 плюс 2пиk, x равно 5пи/6 плюс 2пиk, x равно 3пи/2 плюс 2пиk (k любое целое число). Каждое решение в одном периоде было найдено численно, сопоставлено с точным значением и подтверждено подстановкой; добавление целых периодов дает все решения.

Проверка. x равно 0.52359878: левая часть равно 0.8660254, правая часть равно 0.8660254, что верно. x равно 1.5707963: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно. x равно 2.6179939: левая часть равно минус 0.8660254, правая часть равно минус 0.8660254, что верно. x равно 4.712389: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно.

Похожие уроки

Решите sin(2x) = cos(x) — пошаговый видеоурок