Уравнения высших степенейАлгебраСтаршая школа≈ 1:40

Решите x⁶ - 64 = 0

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: x = -2, x = 2; комплексный: 1 ± 1.7320508i, -1 ± 1.7320508i.

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.6 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
${ x}^{6}-64 = 0$
2. Шаги, часть 1
1. ${ x}^{6}-64 = 0$
  Записываем исходное уравнение
2. $x^{6} - 64 = 0$
  Переносим все члены в одну часть
3. $x^{5} - 2x^{4} + 4x^{3} - 8x^{2} + 16x - 32 = 0$
  Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = -2 — корень
4. $x^{4} + 4x^{2} + 16 = 0$
  Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x = 2 — корень
3. Шаги, часть 2
1. Рациональных корней больше нет; аппроксимируйте оставшиеся 4 корней численно
2. $x = -2,\quad x = 2$
  Выписываем действительные решения
4. На графике
Каждое решение — это точка, где график пересекает ноль.
5. Ответ
$x = -2,\ x = 2$
x = -2, x = 2
6. Проверка
- x = -2: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓
- x = 2: левая часть = 0, правая часть = 0 ✓

Расшифровка

Задача. Вот задача: x в степени 6 минус 64 равно 0. Уравнение 6-й степени относительно x.

Шаги, часть 1. Записываем исходное уравнение. Переносим все члены в одну часть. Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x равно минус 2 — корень. Деление по схеме Горнера на (x плюс 2) даёт многочлен степени 5. Проверяем кандидатов по теореме о рациональных корнях: x равно 2 — корень. Деление по схеме Горнера на (x минус 2) даёт многочлен степени 4.

Шаги, часть 2. Рациональных корней больше нет; аппроксимируйте оставшиеся 4 корней численно. Метод Дюрана-Кернера итеративно уточняет все корни одновременно, пока они не перестанут меняться. Выписываем действительные решения.

На графике. Теперь посмотрите на график левой части минус правой части. Он пересекает ноль ровно в найденных решениях.

Ответ. Итак, ответ: x равно минус 2, x равно 2; комплексный: 1 плюс-минус 1.7320508i, минус 1 плюс-минус 1.7320508i. Многочлен 6-й степени имеет ровно 6 корней с учетом кратности (некоторые могут быть комплексными). Сначала находятся точные рациональные корни, затем остальные решаются точно или аппроксимируются.

Проверка. x равно минус 2: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно. x равно 2: левая часть равно 0, правая часть равно 0, что верно.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки