Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:37

1/3ⁿ toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| < 1)); toplam = 1/2.

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.6 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  Seriyi yazalım
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  Geometrik seriyi tanıyalım
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{yakınsak} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

Döküm

Problem. İşte problem: 1 bölü 3 üssü n toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 bölü 3 üssü n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 bölü 3 üssü n. İlk terimler: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Geometrik seriyi tanıyalım. Her terim bir öncekinin r eşittir 1 bölü 3 ile çarpımıdır (ilk 40 terim için kontrol edildi), ilk terim a eşittir 1 bölü 3. |r| küçüktür 1 olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı şudur: a/(1 eksi r) eşittir 1 bölü 2 yaklaşık 0.5.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| küçüktür 1)); toplam eşittir 1 bölü 2. Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 0.49999153, S₁₀₀ eşittir 0.5, S₁₀₀₀ eşittir 0.5, S₁₀₀₀₀ eşittir 0.5.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler