Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:59

1/√(n) toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri ıraksaktır (karşılaştırma testi Σ 1/n).

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.7 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
  Seriyi yazalım
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
  n. terim testi
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty$
  p-serisiyle limit karşılaştırma testi
3. Cevap
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{ıraksak}$
comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

Döküm

Problem. İşte problem: 1/sqrt(n) toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 / sqrt(n) (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 / sqrt(n). İlk terimler: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. p-serisiyle limit karşılaştırma testi. Pozitif terimler: bunun yerine Σ 1/n ile karşılaştırın: lim a(n) çarpı n eşittir ∞. Limit ∞, bu yüzden terimler sonunda 1/n değerinden büyük olur; o p-serisi (p küçük veya eşit 1) olduğu için ıraksar, dolayısıyla bu da ıraksar.

Cevap. Yani cevap: Seri ıraksaktır (karşılaştırma testi Σ 1/n). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 5.0209979, S₁₀₀ eşittir 18.589604, S₁₀₀₀ eşittir 61.801009, S₁₀₀₀₀ eşittir 198.54465.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler