İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 2:23

n=0 ile sonsuz aralığında 1/n! toplamını hesaplayın

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (oran testi); toplam ≈ 2.718281828 (eşleşir e 10+ basamağa kadar).

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.8 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
  2. 2. Adım adım
    1. ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
      Seriyi yazalım
    2. lim⁡n→∞1n!=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!} = 0
      n. terim testi
    3. L=lim⁡n→∞1n+1=0L = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0
      Oran testi (d’Alembert testi)
    4. Toplamı sayısal olarak tahmin et
  3. 3. Cevap
    ∑n=0∞1n! yakınsak≈2.718281828\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \ \text{yakınsak} \approx 2.718281828

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2.718281828 (matches e to 10+ digits)

  4. 4. Kontrol
    • Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 2.7182815, S₁₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀ = 2.7182818, S₁₀₀₀₀ = 2.7182818

Döküm

Problem. İşte problem: n eşittir 0 ile sonsuz aralığında 1/n! toplamını hesaplayın. 0 ile ∞) arasında Σ 1 / n! (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 0, 1, 2, … için; burada a(n) eşittir 1 / n!. İlk terimler: 1, 1, 0.5, 0.166667, …. n. terim testi. lim a(n) eşittir 0, bu yüzden ıraksaklık testi sonuç vermez; terimler gerçekten küçülüyor, bu yüzden daha ince bir test gerekir. Oran testi (d’Alembert testi). Pozitif terimler: a(n artı 1)/a(n) ifadesi şuna sadeleşir: 1 / (n artı 1); n → ∞ iken limiti şudur: L eşittir 0. L küçüktür 1, bu yüzden seri (mutlak) yakınsaktır. Toplamı sayısal olarak tahmin et. Kısmi toplamlar S N birkaç N için hesaplandı ve N → ∞ için dışdeğerlendi (Richardson dışdeğerlemesi; işaret değiştiren terimlerde önce ortalama alınır). İki bağımsız dışdeğerleme 10 üssü eksi 10 değerinden daha iyi uyuşuyor ve S yaklaşık 2.718281828 veriyor. Gösterilen kapalı biçim sayısal bir eşleştirmedir, kanıt değildir.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (oran testi); toplam yaklaşık 2.718281828 (eşleşir e 10+ basamağa kadar). Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 2.7182815, S₁₀₀ eşittir 2.7182818, S₁₀₀₀ eşittir 2.7182818, S₁₀₀₀₀ eşittir 2.7182818.

Benzer dersler

n=0 ile sonsuz aralığında 1/n! toplamını hesaplayın — adım adım video ders