Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:31

(2/3)ⁿ toplamını n=0 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| < 1)); toplam = 3.

HızDil

Bölümler

Döküm

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.5 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

1. Problem
Çözümlü örnek
$\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n}$
2. Adım adım
1. $\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n}$
  Seriyi yazalım
2. $S = \frac{a}{1-r} = 3$
  Geometrik seriyi tanıyalım
3. Cevap
$\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{2}{3}}\right)^{n} \ \text{yakınsak} = 3$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 3
4. Kontrol
- Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 2.9479754, S₁₀₀ = 3, S₁₀₀₀ = 3, S₁₀₀₀₀ = 3

Döküm

Problem. İşte problem: (2 bölü 3) üssü n toplamını n eşittir 0 ile sonsuz arasında hesapla. 0 ile ∞) arasında Σ (2 bölü 3) üssü n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 0, 1, 2, … için; burada a(n) eşittir (2 bölü 3) üssü n. İlk terimler: 1, 0.666667, 0.444444, 0.296296, …. Geometrik seriyi tanıyalım. Her terim bir öncekinin r eşittir 2 bölü 3 ile çarpımıdır (ilk 40 terim için kontrol edildi), ilk terim a eşittir 1. |r| küçüktür 1 olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı şudur: a/(1 eksi r) eşittir 3.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| küçüktür 1)); toplam eşittir 3. Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 2.9479754, S₁₀₀ eşittir 3, S₁₀₀₀ eşittir 3, S₁₀₀₀₀ eşittir 3.

Ekrandaki adımlar

Döküm

Benzer dersler