İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
Diziler ve serilerCebirÜniversite≈ 1:54

1/4ⁿ toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| < 1)); toplam = 1/3.

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.6 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    ∑n=1∞14n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}
  2. 2. Adım adım
    1. ∑n=1∞14n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}
      Seriyi yazalım
    2. S=a1−r=13S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{3}
      Geometrik seriyi tanıyalım
  3. 3. Cevap
    ∑n=1∞14n yakınsak=13\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}} \ \text{yakınsak} = \frac{1}{3}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/3

  4. 4. Kontrol
    • Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ = 0.33333302, S₁₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀ = 0.33333333, S₁₀₀₀₀ = 0.33333333

Döküm

Problem. İşte problem: 1 bölü 4 üssü n toplamını n eşittir 1 ile sonsuz arasında hesapla. 1 ile ∞) arasında Σ 1 bölü 4 üssü n (n serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyelim.

Adım adım. Seriyi yazalım. Σ a(n), n eşittir 1, 2, 3, … için; burada a(n) eşittir 1 bölü 4 üssü n. İlk terimler: 0.25, 0.0625, 0.015625, 0.00390625, …. Geometrik seriyi tanıyalım. Her terim bir öncekinin r eşittir 1 bölü 4 ile çarpımıdır (ilk 40 terim için kontrol edildi), ilk terim a eşittir 1 bölü 4. |r| küçüktür 1 olduğundan seri yakınsaktır ve toplamı şudur: a/(1 eksi r) eşittir 1 bölü 3 yaklaşık 0.3333333333.

Cevap. Yani cevap: Seri yakınsaktır (geometrik seri (|r| küçüktür 1)); toplam eşittir 1 bölü 3. Bir seri, kısmi toplamları sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa yakınsaktır. Bunun için terimlerin 0 değerine gitmesi gerekir, ama bu tek başına yeterli değildir (harmonik seri ıraksaktır); bu yüzden karar vermek için karşılaştırma, oran, kök, alterne seri veya integral testi kullanılır.

Kontrol. Kısmi toplamlar (kanıt değil, destekleyici gösterge): S₁₀ eşittir 0.33333302, S₁₀₀ eşittir 0.33333333, S₁₀₀₀ eşittir 0.33333333, S₁₀₀₀₀ eşittir 0.33333333.

Benzer dersler

1/4ⁿ toplamını n=1 ile ∞ arasında hesapla — adım adım video ders