Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:18

Визначений інтеграл e^(-2x) від 0 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Збігається: 1/2 ≈ 0.5.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫0∞e−2x dx\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. Це невласний інтеграл
    2. ∫e−2x dx=−12e2x\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Правило для експоненти: ∫ eᵘ du = eᵘ (ділимо на коефіцієнт при змінній)
    3. F(x)=−12e2xF(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Первісна
    4. lim⁡x→∞F(x)=0,F(0)=−12≈−0.5\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5
      Обчислюємо частину від 0 до inf
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Додаємо частини
  4. 4. Відповідь
    ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5

    Converges to 1/2 ≈ 0.5

  5. 5. Перевірка
    • Первісну перевірено диференціюванням ✓
    • Кожну границю первісної обчислено модулем границь і перевірено чисельно ✓
    • Наближена чисельна оцінка (з відступом 10⁻⁶ від асимптот і обривом на ±1000 для нескінченних меж): 0.5

Розшифровка

Задача. Ось задача: Визначений інтеграл e у степені мінус 2x від 0 до нескінченність. Обчислимо невласний інтеграл від e у степені мінус 2 x) на проміжку від 0 до inf.

Кроки, частина 1. Це невласний інтеграл. Він невласний, бо одна з меж інтегрування нескінченна. Він визначається як границя й збігається, лише якщо кожна границя скінченна. Правило для експоненти: інтеграл від eᵘ du дорівнює eᵘ (ділимо на коефіцієнт при змінній). Первісна. Обчислюємо частину від 0 до inf.

Кроки, частина 2. Додаємо частини. Кожна границя скінченна, тому інтеграл збігається.

Відповідь. Отже, відповідь: Збігається: 1 поділити на 2 приблизно 0.5. У невласному інтегралі особливу точку замінюють змінною, інтегрують звичайним способом і потім переходять до границі. Скінченна границя означає, що нескінченна область усе ж має скінченну площу.

Перевірка. Первісну перевірено диференціюванням, що правильно. Кожну границю первісної обчислено модулем границь і перевірено чисельно, що правильно. Наближена чисельна оцінка (з відступом 10 у степені мінус 6 від асимптот і обривом на плюс-мінус 1000 для нескінченних меж): 0.5.

Схожі уроки

Визначений інтеграл e^(-2x) від 0 до ∞ — покроковий відеоурок