ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:42

Похідна (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Кроки, частина 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Похідна добутку: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Похідна складеної функції — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Кроки, частина 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Правило диференціювання складної функції — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Кроки, частина 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Зводимо подібні й спрощуємо
5. Відповідь
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Перевірка
- Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (arctan(x у квадраті плюс x плюс 1))(ln(e у степені x плюс 1)). Знайдемо похідну (atan(x у квадраті плюс x плюс 1)) (ln(e у степені x плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна добутку: (uv) штрих дорівнює u штрих v плюс uv штрих. Похідна складеної функції — похідна за x[ln u] дорівнює u штрих /u. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих.

Кроки, частина 2. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[arctan u] дорівнює u штрих /(1 плюс u у квадраті). Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1.

Кроки, частина 3. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (2x плюс 1) помножити на ln(e у степені x плюс 1) / ((x у квадраті плюс x плюс 1) у квадраті плюс 1) плюс atan(x у квадраті плюс x плюс 1) помножити на e у степені x / (e у степені x плюс 1). Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки