Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:37

Похідна (e^(eˣ+1))(cos(x²+1))

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = e^(e^x + 1 + x)·cos(x² + 1) - 2e^(e^x + 1)·sin(x² + 1)·x.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[eex+1cos⁡(x2+1)]\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1} \cos\left({x}^{2}+1\right)\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[eex+1cos⁡(x2+1)]=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)x\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1} \cos\left({x}^{2}+1\right)\right] = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x
      Похідна добутку: (uv)′ = u′v + uv′
    2. ddx[cos⁡(x2+1)]=−(2sin⁡(x2+1)x)\frac{d}{dx}\left[\cos\left({x}^{2}+1\right)\right] = -\left(2\sin\left({x}^{2}+1\right) x\right)
      Правило диференціювання складної функції — d/dx[cos u] = −sin u · u′
    3. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    4. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[eex+1]=eex+1+x\frac{d}{dx}\left[{e}^{{e}^{x}+1}\right] = {e}^{{e}^{x}+1+ x}
      Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    2. ddx[ex+1]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    3. ddx[ex]=ex\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}
      Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    4. f′(x)=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)xf'(x) = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=eex+1+xcos⁡(x2+1)−2eex+1sin⁡(x2+1)xf'(x) = {e}^{{e}^{x}+1+ x} \cos\left({x}^{2}+1\right)-2{e}^{{e}^{x}+1} \sin\left({x}^{2}+1\right) x

    f'(x) = e^(e^x + 1 + x)·cos(x² + 1) - 2e^(e^x + 1)·sin(x² + 1)·x

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна (e у степені e у степені x плюс 1))(cos(x у квадраті плюс 1)). Знайдемо похідну (e у степені e у степені x плюс 1)) (cos(x у квадраті плюс 1)) за x.

Кроки, частина 1. Похідна добутку: (uv) штрих дорівнює u штрих v плюс uv штрих. Правило диференціювання складної функції — похідна за x[cos u] дорівнює мінус sin u помножити на u штрих. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1.

Кроки, частина 2. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює e у степені e у степені x плюс 1 плюс x) помножити на cos(x у квадраті плюс 1) мінус 2e у степені e у степені x плюс 1) помножити на sin(x у квадраті плюс 1) помножити на x. Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна (e^(eˣ+1))(cos(x²+1)) — покроковий відеоурок