Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ПохідніМатематичний аналізУніверситет≈ 1:33

Похідна ((x²+1)³/(e^(x³)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: f'(x) = (6(x² + 1)²x - 3(x² + 1)³x²) / e^x³.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ddx[(x2+1)3ex3]\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right]
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ddx[(x2+1)3ex3]=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3\frac{d}{dx}\left[\frac{{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}}{{e}^{{x}^{3}}}\right] = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}
      Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
    2. ddx[ex3]=3ex3x2\frac{d}{dx}\left[{e}^{{x}^{3}}\right] = 3{e}^{{x}^{3}} {x}^{2}
      Похідна показникової функції: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
    3. ddx[x3]=3x2\frac{d}{dx}\left[{x}^{3}\right] = 3{x}^{2}
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    4. ddx[(x2+1)3]=6(x2+1)2x\frac{d}{dx}\left[{\left({x}^{2}+1\right)}^{3}\right] = 6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x
      Правило степеня разом із правилом диференціювання складної функції: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ddx[x2+1]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x
      Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо
    2. ddx[x2]=2x\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x
      Похідна степеня: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
    3. f′(x)=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}
      Зводимо подібні й спрощуємо
  4. 4. Відповідь
    f′(x)=6(x2+1)2x−3(x2+1)3x2ex3f'(x) = \frac{6 {\left({x}^{2}+1\right)}^{2} x-3 {\left({x}^{2}+1\right)}^{3} {x}^{2}}{{e}^{{x}^{3}}}

    f'(x) = (6(x² + 1)²x - 3(x² + 1)³x²) / e^x³

  5. 5. Перевірка
    • Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Похідна ((x у квадраті плюс 1) у кубі)/(e у степені x у кубі)). Знайдіть похідну ((x у квадраті плюс 1) у кубі) / (e у степені x у кубі)) відносно x.

Кроки, частина 1. Похідна частки: (u/v) штрих дорівнює (u штрих v мінус uv штрих )/v у квадраті. Похідна показникової функції: похідна за x[eᵘ] дорівнює eᵘ помножити на u штрих. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1. Правило степеня разом із правилом диференціювання складної функції: похідна за x[u у степені n] дорівнює n помножити на u у степені n мінус 1 помножити на u штрих.

Кроки, частина 2. Похідна суми: диференціюємо кожен доданок окремо. Похідна степеня: похідна за x[x у степені n] дорівнює n помножити на x у степені n мінус 1. Зводимо подібні й спрощуємо.

Відповідь. Отже, відповідь: f штрих від x дорівнює (6(x у квадраті плюс 1) у квадратіx мінус 3(x у квадраті плюс 1) у кубіx у квадраті) / e у степені x у кубі. Похідна будується ззовні всередину: сума розбивається на доданки, сталий множник виноситься, для добутків і часток діють свої правила, а кожна складена функція множиться на похідну внутрішньої функції (правило диференціювання складеної функції).

Перевірка. Звірено чисельно з незалежною системою символьного диференціювання в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Похідна ((x²+1)³/(e^(x³) — покроковий відеоурок