Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Послідовності та рядиАлгебраУніверситет≈ 1:23

Обчисліть суму (1/2)ⁿ від n=0 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Ряд збігається (геометричний ряд (|r| < 1)); сума = 2.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∑n=0∞(12)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∑n=0∞(12)n\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n}
      Записуємо ряд
    2. S=a1−r=2S = \frac{a}{1-r} = 2
      Розпізнаємо геометричний ряд
  3. 3. Відповідь
    ∑n=0∞(12)n збігається=2\sum_{n=0}^{\infty} \left({\frac{1}{2}}\right)^{n} \ \text{збігається} = 2

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2

  4. 4. Перевірка
    • Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ = 1.9980469, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обчисліть суму (1 поділити на 2) у степені n від n дорівнює 0 до нескінченність. З штрих ясуємо, чи збігається, чи розбігається Σ (1 поділити на 2) у степені n (n від 0 до ∞).

Крок за кроком. Записуємо ряд. Σ a(n) при n дорівнює 0, 1, 2, … де a(n) дорівнює (1 поділити на 2) у степені n. Перші члени: 1, 0.5, 0.25, 0.125, …. Розпізнаємо геометричний ряд. Кожен член дорівнює попередньому, помноженому на r дорівнює 1 поділити на 2 (перевірено для перших 40 членів), перший член a дорівнює 1. Оскільки |r| менше ніж 1, ряд збігається, і його сума дорівнює a/(1 мінус r) дорівнює 2.

Відповідь. Отже, відповідь: Ряд збігається (геометричний ряд (|r| менше ніж 1)); сума дорівнює 2. Ряд збігається, якщо його часткові суми прямують до скінченного числа. Для цього члени ряду мають прямувати до 0, але самого цього недостатньо (гармонічний ряд розбігається), тому для відповіді застосовується ознака порівняння, ознака Д штрих Аламбера, радикальна ознака Коші, ознака Лейбніца або інтегральна ознака.

Перевірка. Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ дорівнює 1.9980469, S₁₀₀ дорівнює 2, S₁₀₀₀ дорівнює 2, S₁₀₀₀₀ дорівнює 2.

Схожі уроки

Обчисліть суму (1/2)ⁿ від n=0 до ∞ — покроковий відеоурок