Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Послідовності та рядиАлгебраУніверситет≈ 1:59

Обчисліть суму 1/n від n=1 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Ряд розбігається (гранична ознака порівняння з Σ 1/n).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
      Записуємо ряд
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Необхідна ознака збіжності
    3. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом
  3. 3. Відповідь
    ∑n=1∞1n розбігається\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{розбігається}

    limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Перевірка
    • Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ = 2.9289683, S₁₀₀ = 5.1873775, S₁₀₀₀ = 7.4854709, S₁₀₀₀₀ = 9.787606

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обчисліть суму 1/n від n дорівнює 1 до нескінченність. З штрих ясуємо, чи збігається, чи розбігається Σ 1 / n (n від 1 до ∞).

Крок за кроком. Записуємо ряд. Σ a(n) при n дорівнює 1, 2, 3, … де a(n) дорівнює 1 / n. Перші члени: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Необхідна ознака збіжності. lim a(n) дорівнює 0, тому необхідна ознака нічого не вирішує; члени ряду справді спадають, тож потрібна тонша ознака. Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом. Додатні члени: члени зменшуються приблизно як 1/n (оцінено з a(2N)/a(N)), тому порівняємо з Σ 1/n: lim a(n) помножити на n дорівнює 1. Границя — додатне скінченне число, тому ряд поводиться точно як p-ряд Σ 1/n, який розбігається, оскільки p менше або дорівнює 1.

Відповідь. Отже, відповідь: Ряд розбігається (гранична ознака порівняння з Σ 1/n). Ряд збігається, якщо його часткові суми прямують до скінченного числа. Для цього члени ряду мають прямувати до 0, але самого цього недостатньо (гармонічний ряд розбігається), тому для відповіді застосовується ознака порівняння, ознака Д штрих Аламбера, радикальна ознака Коші, ознака Лейбніца або інтегральна ознака.

Перевірка. Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ дорівнює 2.9289683, S₁₀₀ дорівнює 5.1873775, S₁₀₀₀ дорівнює 7.4854709, S₁₀₀₀₀ дорівнює 9.787606.

Схожі уроки

Обчисліть суму 1/n від n=1 до ∞ — покроковий відеоурок